在实际教学中，常听到不少学生发出感叹：数学太难学了!数学真的就那么难学吗?为什么有的学生学起来如鱼得水，而有的学生却困难重重，积重难进?依据我们多年的教学实际和平常与学生的交流，深深体会到数学符号的学习和理解是造成一部分学生数学学习困难的一个相当重要的原因．那么优秀的学生是如何学习和理解数学符号的，他们学习和理解的方式，对于其他学生的学习和我们教师有效地进行符号教学有何启迪，而学习困难的学生学习和理解数学符号的障碍何在，教师应如何依据他们的困难进行教学，带着这些问题，我们调查了洛阳某高中二年级部分不同学力水平的学生对数学符号的学习和理解情况．该高中是一所普通中学．下文中，Ｔ表示老师；Ａ１：男生，头脑灵活，数学成绩良好；Ａ２：男生，思想活跃但粗心，数学成绩较好；Ａ３：女生，比较踏实，数学成绩不错；Ｂ１：男生，踏实，但反应较慢，数学学习有困难；Ｂ２：男生，思想活跃，但不爱学习数学；Ｂ３和Ｂ４均是女生，数学成绩较差．
一、不同学力水平的学生学习数学符号的个案及其分析
1.不同学力水平的学生理解和记忆ｙ＝ａx、ｙ＝ｘa的个案研究
下面是笔者与两位高中二年级学生之间就数学符号ｙ＝ａx、ｙ＝ｘa的一段对话：
T：在学习中你是如何区别ｙ＝ａx、ｙ＝ｘa的?
B１：不知道，经常把它们两个弄混．
Ｔ：你是如何记忆它们的?
B１：主要按课本上学习它们的先后顺序记忆，但后来总是弄混．
Ａ１：初中学过ｙ＝ｘ２，ｙ＝ｘ３等幂的表示形式，所以就想到形如ｙ＝ｘa的函数为幂函数，另一个就是指数函数．
Ｔ：你们能否说出ｙ＝ａx、ｙ＝ｘa的性质?
Ａ１在纸上分别画出了ｙ＝ｘ２和ｙ＝ｘ３的图象，依据ｙ＝ｘ２和ｙ＝ｘ３图象说出ｙ＝ｘa的性质，而在说明ｙ＝ａx的性质时，则画的是ｙ＝２x、ｙ＝３x的图象．
B１：这两个函数的性质是……
T：你能否画图说明?
此时Ｂ１努力地回忆这两个函数的图象，但把两种图象混在一起了．
2.关于理解直线ａ在平面α内和点Ａ在平面α内的数学符号表示的个案
Ｔ：直线ａ在平面α内和点Ａ在平面α内用数学符号怎样表示?
Ａ２：ａα和Ａ∈α．
Ｂ２：ａα和Ａ∈α．
Ｂ３：ａ∈α和Ａ∈α．
Ｂ４：ａα和Ａα．
Ｔ：为什么这样表示?
Ａ２：直线和平面都可以看做集合，点看做元素，在代数中集合与集合之间用表示，元素与集合之间用∈表示．
Ｂ２：说不出来，反正老师是这样教的．
Ｂ３：点和直线都属于平面吧．
Ｂ４则画出了直线和点在平面内的图形．
学生Ｂ４、Ｂ３可能发现直线在平面内，点在平面内，与元素在集合内十分相似，于是就导致了错误的理解和联想．
分析：（1）学力水平高的学生在理解和记忆数学符号时，善于运用自己学过的知识对新知识进行理解和主动加工，使抽象的数学符号被赋予了具体的含义和丰富的经验背景，使新知对于自身来说是可以理解的．比如学生Ａ１在理解和记忆ｙ＝ａx、ｙ＝ｘa的概念和性质时，就能联系到初中学过ｙ＝２x、ｙ＝３x的有关知识；而在第二个案例中学生Ａ２则联想到代数中集合与集合之间、元素与集合之间的符号的表示，并通过对比和概括内化到自己原有的认知结构当中，从而就扩大了自己原有的认知结构，使原有认知结构更加清晰和有序．
（2）学习困难的学生在理解数学符号时弄不清新旧知识之间的内在联系，或者使新旧知识发生了错误的联系，或者他们根本就没有想去寻找新旧知识的联系，换句话，学习困难的学生在学习数学符号时不理解符号的真正含义，既没有要求理解数学符号意义的心向，也没有掌握理解符号含义的方法，致使符号的外在表示和学生个体的内在经验背景脱节，既被动学习又机械记忆，数学符号在个体的认知结构中散落堆积，既加重学习的负担，又成了进一步学习的障碍．
（3）高学力水平的学生在学习和理解数学符号时，能对新知识进行主动的分析和加工，因而在记忆数学符号时就能自觉对数学符号表示的相关内容进行处理，使自己认知结构中相关的概念、公式、定理形成了网状排列，使新知识和旧知识保持了一定的连续性；而学习困难的学生的记忆基本是块状结构，即学什么就记什么，从不思考不同的数学符号所表达的相同的内容，它们记忆的大量数学符号是相互孤立的，即使有联系也是混乱和松散的，有时还是错误的，因此在回忆和提取时往往显得忙乱和无效．
3.不同学力水平的学生在解题中运用数学符号的个案研究
（1）Ｆ（ｘ）的定义域为（ｃ，ｄ），求函数Ｆ（２x）的定义域，其中ｃ＞０，ｄ＞０．
（2）若Ｆ（ｘb）＝ｌｏｇａx，求Ｆ（ａn），其中ｎ∈Ｎ，ｂ≠０，ａ＞0，ａ≠1．
Ａ１：（１）因为ｃ＜ｘ＜ｄ，所以ｃ＜２x＜ｄ，
即ｌｏｇ２c＜ｘ＜ｌｏｇ２d，所以函数Ｆ（２x）的定义域是（ｌｏｇ２c，ｌｏｇ２d）．
（2）令ｘb＝ｔ，则ｌｏｇａx＝（ｌｏｇａt）/ｂ．
所以Ｆ（ｔ）＝（ｌｏｇａt）/ｂ，Ｆ（ａn）＝ｎ/ｂ．
Ｔ：为什么ｃ＜２x＜ｄ?
Ａ１：因为Ｆ（２x）是关于ｘ的一个复合函数，根据复合函数的定义，函数ｕ＝２x的值域应满足Ｆ（ｘ）的定义域．
Ｔ：为什么令ｘb＝ｔ，解出Ｆ（ｔ）＝（ｌｏｇａt）/ｂ？
Ａ１：要求Ｆ（ａn），必须把关于Ｆ（ｘ）的对应法则求出来．
Ａ２：（１）因为ｃ＜ｘ＜ｄ，所以ｃ＜２x＜ｄ，即ｌｏｇ２c＜ｘ＜ｌｏｇ２d，所以函数Ｆ（２x）的定义域是（ｌｏｇ２c，ｌｏｇ２d）．
（2）令ｘb＝ａn，则ｌｏｇａx＝ｎ/ｂ，
则Ｆ（ａn）＝ｎ/ｂ．
Ｔ：Ｆ（ｘ）与Ｆ（２x）中的ｘ含义相同吗?
Ａ２：虽然都是ｘ，但它们的取值不同，在Ｆ（ｘ）中ｘ在（ｃ，ｄ）取值，而Ｆ（２x）中的ｘ取值应保证２x∈（ｃ，ｄ），所以两个ｘ含义不同．
Ｂ１：（1）Ｆ（ｘ）的定义域是（ｃ，ｄ），即ｘ的取值范围为（ｃ，ｄ），Ｆ（２x）中ｘ的取值范围也为（ｃ，ｄ），所以Ｆ（２x）的定义域为（ｃ，ｄ）．
（2）Ｆ（ｘb）＝ｌｏｇａx，所以Ｆ＝（ｌｏｇａx）/ｘb，Ｆ（ａn）＝ｎ/ａnb．
Ｂ２：因为Ｆ（ｘb）＝ｌｏｇａx，所以Ｆ（ａnb）＝ｌｏｇａａn＝ｎ．
分析：（1）学力水平高的学生在理解Ｆ（ｘ）与Ｆ（２x）时是在理解Ｆ（ｘ）本质意义（它只是一个加工的手段和模具）的前提下，把Ｆ（ｘ）作为一个结构性概念来理解，因而能把Ｆ（ｘ）与Ｆ（２x）从结构上看作对应法则是相同的，从而得出ｃ＜２x＜ｄ，而在做第（2）题时，能够从不同的表达式子中，发现内在相同的对应规则，比如Ａ２认为Ｆ（ｘb）＝ｌｏｇａx和Ｆ（ａn）具有相同的规则，因此要求Ｆ（ａn），必须把相关的对应法则求出来．
（2）学力水平弱的学生看到符号，只能理解符号的表层的形式的意义，而体会不到其中的内在含义，比如Ｂ１认为Ｆ（ｘ）与Ｆ（２x）中的ｘ是相同的，因而取值范围也应相同，不能从深层理解到Ｆ（ｘ）与Ｆ（２x）的对应法则相同，只是自变量不同而已，这也从一个侧面反映出这一部分学生只是把符号Ｆ作为一个具体的运算符号，而体会不到函数中Ｆ的真正作用，比如学生Ｂ１由Ｆ（ｘb）＝ｌｏｇａx，得出Ｆ＝（ｌｏｇａx）/ｘb，同时这一部分的学生在后来的学习过程中，一方面由于对自己学习过程缺乏概括和总结的习惯和方法，另一方面可能缺乏对自己的思考过程进行反思，因而无法借助自己已有的经验理解形式化的符号运算所包含的意义，从而无法实现符号由方法性到结构性的过渡，因而在解决抽象的符号问题时遇到的困难是在所难免的． |
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